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高考数学 - 集合与常用逻辑用语知识点全梳理
一、知识框架
二、知识点详解
（一）集合
1. 核心概念
- 元素与集合：集合中的对象称为元素，元素具有确定性、互异性、无序性三大特性；集合常用大写字母表示，元素用小写字母表示，元素与集合的关系为∈（属于）或∉（不属于）。
- 集合的表示方法
- 列举法：把集合中所有元素一一列举出来，用{ }括起来，如{1,2,3}。
- 描述法：用集合所含元素的共同特征表示，格式为{ x | p(x) }，如{ x | x>2, x∈R }。
- 图示法：韦恩（Venn）图，用于直观表示集合间的关系和运算。
- 常用数集
| 数集名称 | 自然数集 | 正整数集 | 整数集 | 有理数集 | 实数集 | 空集 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 符号表示 | N | N*或N₊ | Z | Q | R | ∅ |
注意：空集是不含任何元素的集合，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
2. 集合间的关系
- 子集：若集合A中任意一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作
A⊆B（或B⊇A）。 - 真子集：若
A⊆B且A≠B，则称A是B的真子集，记作A⊂neqq B（或B⊃neqq A）。 - 集合相等：若
A⊆B且B⊆A，则A=B。
3. 集合的运算
- 交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，记作
A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}。 - 并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，记作
A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}。 - 补集：设U为全集，A是U的子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合，记作
∁UA，即∁UA={x|x∈U且x∉A}。
（二）常用逻辑用语
1. 命题
- 定义：能够判断真假的陈述句叫做命题，分为真命题和假命题。
- 四种命题：原命题（若p，则q）、逆命题（若q，则p）、否命题（若¬p，则¬q）、逆否命题（若¬q，则¬p）。
- 四种命题的关系：原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假。
2. 充分条件与必要条件
- 若
p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。 - 若
p⇔q，则p是q的充要条件（充分必要条件）。 - 若
p⇒q但q⇏p，则p是q的充分不必要条件；若p⇏q但q⇒p，则p是q的必要不充分条件。
3. 简单的逻辑联结词
- 且（∧）：命题
p∧q，当且仅当p、q均为真命题时，p∧q为真，否则为假。 - 或（∨）：命题
p∨q，当且仅当p、q均为假命题时，p∨q为假，否则为真。 - 非（¬）：命题¬p，与p的真假性相反，即p真则¬p假，p假则¬p真。
4. 全称量词与存在量词
- 全称量词：短语“所有的”“任意一个”等，符号为∀；含有全称量词的命题叫全称命题，形式为“∀x∈M，p(x)”。
- 存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等，符号为∃；含有存在量词的命题叫特称命题，形式为“∃x₀∈M，p(x₀)”。
- 命题的否定：全称命题的否定是特称命题，即
¬(∀x∈M,p(x))=∃x₀∈M,¬p(x₀)；特称命题的否定是全称命题，即¬(∃x₀∈M,p(x₀))=∀x∈M,¬p(x)。
三、历年出题方向
- 集合基础题
- 考查集合的表示方法、常用数集的符号、元素与集合、集合与集合的关系，多为选择题或填空题第一题。
- 结合不等式（如一元二次不等式、绝对值不等式）求集合的交集、并集、补集运算。
- 常用逻辑用语基础题
- 充分条件与必要条件的判断，常结合函数、不等式、立体几何、解析几何等知识点考查。
- 全称命题、特称命题的否定，判断含有逻辑联结词的命题的真假。
- 综合应用题
- 集合与常用逻辑用语结合，考查参数的取值范围（如已知集合的包含关系、集合运算的结果求参数）。
- 以充分必要条件为载体，考查其他章节的核心知识点，实现“小题综合化”。
四、历年真题示例
1. （2024·新课标Ⅰ卷）
已知集合A={x|x² - 3x - 4 < 0}，B={x|x > 2}，则A∩B的结果是（ ）
A. (2,4) B. (2,3) C. (-1,4) D. (-1,2)
答案：A
解析：解不等式x²-3x-4<0得(x-4)(x+1)<0，即-1B=(2,+∞)，所以A∩B=(2,4)。
2. （2023·全国乙卷）
设命题p：∃x₀∈(0,+∞)，x₀ + 1/x₀ < 4，则¬p为（ ）
A. ∀x∈(0,+∞)，x + 1/x ≥ 4 B. ∀x∈(0,+∞)，x + 1/x < 4
C. ∃x₀∈(0,+∞)，x₀ + 1/x₀ ≥ 4 D. ∃x₀∈(0,+∞)，x₀ + 1/x₀ > 4
答案：A
解析：特称命题的否定是全称命题，将存在量词改为全称量词，同时否定结论，故¬p：∀x∈(0,+∞)，x + 1/x ≥ 4。
3. （2022·北京卷）
设函数F(x)=f(x)g(x)，其中f(x)的定义域为D₁，g(x)的定义域为D₂，则“f(x)与g(x)均为奇函数”是“F(x)为偶函数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
答案：A
解析：若f(x)、g(x)均为奇函数，则f(-x)=-f(x)，g(-x)=-g(x)，F(-x)=f(-x)g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)g(x)=F(x)，故F(x)为偶函数；反之，若F(x)为偶函数，f(x)、g(x)不一定均为奇函数（如f(x)=x²，g(x)=x⁴，F(x)=x⁶为偶函数，但f(x)、g(x)均为偶函数），故为充分不必要条件。
4. （2021·新高考Ⅱ卷）
已知集合A={1,2,3,4}，B={x|x=n²,n∈A}，则A∩B的元素个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
答案：B
解析：由n∈A得B={1,4,9,16}，则A∩B={1,4}，元素个数为2。
五、复习要点
- 夯实基础概念
- 牢记集合的三大特性、表示方法、常用数集符号，特别注意空集的特殊性（如
∅⊆A，∅⊂neqq A(A≠∅)）。 - 熟练掌握四种命题的转化规则，区分“否命题”与“命题的否定”的不同：否命题是对条件和结论同时否定，命题的否定只否定结论。
- 牢记集合的三大特性、表示方法、常用数集符号，特别注意空集的特殊性（如
- 突破核心考点
- 集合运算：结合不等式求解时，先准确解出不等式对应的集合，再利用数轴或韦恩图进行运算，注意端点值的取舍。
- 充分必要条件判断：
- 定义法：判断
p⇒q和q⇒p的真假； - 集合法：若p对应集合A，q对应集合B，则A⊆B时p是q的充分条件，B⊆A时p是q的必要条件。
- 定义法：判断
- 命题否定：牢记“全称变特称，特称变全称，结论变否定”的规则，避免出现量词未替换的错误。
- 重视易错点
- 忽略集合元素的互异性：求解含参数的集合问题时，求出参数后需检验是否满足互异性。
- 混淆“必要条件”与“必要不充分条件”：判断时需双向验证，不能只看单向推出关系。
- 空集的遗漏：在讨论
A⊆B时，需分A=∅和A≠∅两种情况。
- 强化题型训练
- 针对性练习集合与不等式结合的运算题、充分必要条件判断题、命题否定题，整理错题本，总结同类题目的解题规律。
- 关注真题中“小题综合化”的趋势，训练集合与逻辑用语和函数、几何等知识点的综合应用能力。
